Проекция Ван дер Гринтена

Проекция Ван дер Гринтена для земного шара

Проекция Ван дер Гринтена — компромиссная картографическая проекция, не являющаяся ни равновеликой, ни равноугольной. Она проектирует поверхность земли в круг, максимальные искажения возникают в районах полюсов. Проекция была предложена Альфонсом ван дер Гринтеном в 1904 году. Получила известность, когда Национальное географическое общество в 1922 году приняло её в качестве стандартной карты мира. В этом качестве проекция существовала до 1988 года.

Проекция выражается следующими формулами

[math]\displaystyle{ x = \frac {\pm \pi \left(A\left(G - P^2\right) + \sqrt {A^2 \left(G - P^2\right)^2 - \left(P^2 + A^2\right)\left(G^2 - P^2\right)}\right)} {P^2 + A^2}\, ; }[/math]

[math]\displaystyle{ y = \frac {\pm \pi \left(P Q - A \sqrt{\left(A^2 + 1\right)\left(P^2 + A^2\right) - Q^2} \right)} {P^2 + A^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ x }[/math] имеет тот же знак, что of [math]\displaystyle{ \lambda - \lambda_0 }[/math], а [math]\displaystyle{ y }[/math] — тот же, что [math]\displaystyle{ \phi }[/math] и

[math]\displaystyle{ A = \frac {1} {2} \left| \frac {\pi} {\lambda - \lambda_0} - \frac {\lambda - \lambda_0} {\pi} \right| ; }[/math]

[math]\displaystyle{ G = \frac {\cos \theta} {\sin \theta + \cos \theta - 1} ; }[/math]

[math]\displaystyle{ P = G\left(\frac {2} {\sin \theta} - 1\right) ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \theta = \arcsin \left| \frac {2 \phi} {\pi} \right| ; }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = A^2 + G\, . }[/math]

Если [math]\displaystyle{ \phi = 0 }[/math], то

[math]\displaystyle{ x = \left(\lambda - \lambda_0\right)\, ; }[/math]

[math]\displaystyle{ y = 0\, . }[/math]

Если [math]\displaystyle{ \lambda = \lambda_0 }[/math] или [math]\displaystyle{ \phi = \pm \pi / 2 }[/math], то

[math]\displaystyle{ x = 0\, ; }[/math]

[math]\displaystyle{ y = \pm \pi \tan {\theta / 2 }. }[/math]

Во всех формулах [math]\displaystyle{ \phi }[/math] — широта, [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — долгота, [math]\displaystyle{ \lambda_0 }[/math] — центральный меридиан проекции.

Ссылки

• Projections by Van der Grinten, and variations (неопр.). Дата обращения: 14 января 2012. Архивировано 18 мая 2012 года.
• U.S. Patent 751 226
• US patent No. 751226.